Mengapa bilangan dibagi-bagi ke dalam berbagai jenis?

Tuhan menciptakan bilangan bulat, dan seluruh bilangan selainnya adalah buah dari pekerjaan manusia.

Leopold Kronecker, matematikawan Jerman (1823 – 1891)

* * *

Semesta bilangan yang diketahui oleh seseorang merupakan semesta yang membatasi kemampuannya melakukan operasi hitung. Orang yang semesta pengetahuan bilangannya hanya sebatas bilangan bulat tentu akan menghadapi kesulitan saat berhadapan dengan tantangan ½ + ¼. Atau lebih kompleks lagi ketika berhadapan dengan soal 3,12 × 2,45. Atau ketika berhadapan dengan soal-soal persamaan kuadrat yang akar-akarnya bilangan kompleks. Semakin luas semesta bilangan yang diketahui, semakin luas pula operasi hitung yang bisa dilakukan.

Saat belajar matematika di sekolah, kita diajarkan bahwa ada himpunan bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan irasional, sampai dengan bilangan real. Mengapa ada pembagian bilangan menjadi sedemikian rupa? Apa perlunya membagi-bagi bilangan ke dalam kelompok-kelompok tersebut?

Untuk menjawabnya, maka kita harus memahami aktivitas yang sangat terkait dengan bilangan, yaitu aktivitas yang disebut sebagai ’operasi’. Perkembangan kompleksitas hasil dari operasi terhadap bilangan paling dasar yang dikenal manusia, yaitu bilangan asli, telah menimbulkan kompleksitas pula dalam jenis bilangan yang dikenal oleh manusia. Mari kita lihat lebih detil bagaimana kompleksitas hasil operasi menimbulkan jenis bilangan baru.

Dalam operasi penjumlahan dan perkalian terhadap bilangan asli, apa yang dihasilkan adalah juga himpunan bilangan asli. Dengan kata lain, dengan operasi penjumlahan dan perkalian, himpunan bilangan asli akan menghasilkan himpunan bilangan asli pula. Jadi, belum lahir bilangan-bilangan baru yang berada di luar keanggotaan himpunan bilangan asli.

Ketika muncul bilangan 0, situasinya belum banyak berubah. Hanya saja barangkali catatan menarik dari bilangan 0 ialah bahwa operasi penjumlahan setiap bilangan asli dengan 0 akan menghasilkan bilangan asli itu sendiri, dan operasi perkalian setiap bilangan asli dengan 0 akan menghasilkan 0. Tapi, situasinya tetap. Tak ada kawanan bilangan baru yang lahir.

Tapi, situasinya berubah ketika beranjak ke operasi pengurangan. Ketika suatu bilangan asli dikurangkan dengan bilangan asli yang lain, situasinya tak akan menimbulkan masalah manakala bilangan asli yang pertama lebih besar daripada bilangan asli yang kedua. Namun ketika bilangan asli yang pertama lebih kecil daripada bilangan asli yang kedua, atau ketika 0 dikurangi dengan bilangan asli, maka timbul persoalan. ”Bilangan macam apakah yang dihasilkan dari pengurangan seperti itu?” Tentu saja jawabnya bukanlah bilangan asli karena bilangan asli adalah bilangan yang lebih besar daripada 0, sedangkan yang dihasilkan oleh pengurangan tersebut adalah bilangan yang lebih kecil daripada 0. Lahirlah kawanan bilangan baru di luar kawanan bilangan asli. Menariknya, kawanan baru itu memiliki sifat-sifat yang sama dengan sifat-sifat bilangan asli dalam hal asosiatif, komutatif dan distributif penjumlahan dan perkalian. Kawanan bilangan baru itu disebut sebagai bilangan negatif, dan karena memiliki kesamaan sifat-sifat tersebut, maka kemudian disatukan ke dalam satu himpunan dengan nama yang satu, yaitu bilangan bulat. Dengan himpunan bilangan bulat ini, operasi pengurangan dimana bilangan asli yang pertama lebih kecil daripada bilangan asli yang kedua tak lagi menjadi masalah. Semuanya kembali normal, menjadi biasa-biasa saja.

Operasi pembagian ternyata menimbulkan masalah yang serupa. Apa yang terjadi jika bilangan yang dibagi lebih kecil daripada bilangan yang membagi? Sebagai misal 1 : 2. Hasilnya ternyata tidak 1 karena 1 × 2 = 2 dan bukan hasilnya 1. Tapi juga bukan 0 karena 0 × 2 = 0. Bukan 1 dan juga bukan 0. Ada di antara keduanya. Tapi bilangan bulat apa yang ada di antara 0 dan 1?

Situasi kebingungan ini tentu tak bisa ditolerir terus-menerus. Mau tak mau konsep bilangan yang terbatas pada bilangan bulat, harus diperluas lagi agar operasi-operasi semacam itu tidak menimbukan rasa tidak enak karena tak terpecahkan. Maka, lahirlah kawanan bilangan pecahan. Karena sistem bilangan kita adalah bilangan berbasis 10, maka setiap bilangan pecahan itu pun juga diterjemahkan ke dalam bentuk bilangan berbasis 10 dan yang kemudian dikenal sebagai bilangan desimal. Dalam kenyataannya, ternyata tidak semua bilangan pecahan tersebut bisa diterjemahkan secara ringkas menjadi bentuk bilangan desimal. Ada bilangan-bilangan pecahan yang ternyata jika diterjemahkan ke dalam bentuk desimal melahirkan bentuk desimal yang bilangan di belakang komanya tidak ada putus-putusnya. Sebagai misal bilangan pecahan 1/3 yang jika diterjemahkan ke dalam bentuk desimal akan melahirkan bentuk desimal 0,3333333… secara tiada habisnya.

Untuk membedakan kedua jenis bilangan pecahan tersebut, masing-masing diberi nama himpunannya. Untuk jenis bilangan pecahan yang bisa diterjemahkan ke dalam bentuk desimal secara ringkas dan sempurna, diberi nama bilangan rasional. Sedangkan yang tidak, diberi nama bilangan irasional.

Karena sesungguhnya setiap bilangan bulat bisa diterjemahkan ke dalam bentuk pecahan, maka himpunan bilangan bulat dan bilangan pecahan, baik yang rasional maupun yang irasional, disatukan ke dalam satu keluarga besar himpunan yang bernama himpunan bilangan real.

Selesai sudah persoalannya?

Ternyata belum. Dalam operasi akar, muncul persoalan ketika bilangan yang diakarkan ialah bilangan bulat negatif. Berapa misalnya ? Kita tahu bahwa operasi akar adalah operasi untuk menemukan satu buah bilangan yang jika dipangkatkan akan menghasilkan bilangan di bawah tanda akar. Tapi persoalannya, bilangan yang dipangkatkan itu adalah satu buah bilangan dan bukan dua buah bilangan. Satu buah bilangan artinya bisa saja 2² atau (-2)². Dalam kedua kasus, jawabannya adalah sama, yaitu 4. Lantas bagaimana menemukan satu buah bilangan yang jika dipangkatkan akan menghasilkan ? -4 bisa dihasilkan dari perkalian (-2) × 2 atau 2 × (-2). Sayangnya, kita diminta bukan untuk menemukan dua buah bilangan yang jika dikalikan akan menghasilkan bilangan -4, namun satu buah bilangan saja yang jika dipangkatkan akan menghasilkan bilangan -4.

Untuk memecah kebuntuan tersebut, para matematikawan kemudian memperkenalkan bilangan baru yang bernama i. Bilangan i ini merupakan bilangan yang dihasilkan dari . Jadi teka-teki bisa dipecahkan menjadi 2i. Bilangan i ini disebut sebagai bilangan kompleks dan bentuk umum dari bilangan kompleks ialah: a + bi.

Bisa dilihat dari uraian di atas, bahwa jenis-jenis bilangan muncul dalam konteks untuk memecahkan kebuntuan dalam menghadapi persoalan-persoalan yang timbul dalam operasi. Dengan keberagaman jenis bilangan tersebut, maka seluruh operasi menjadi mungkin untuk dipecahkan. Tak ada lagi operasi yang terlalu aneh bagi matematikawan.

Sumber : mengertimatematika